Прикладным математикам удалось найти простейшую физическую систему, поведение которой описывается теорией хаоса. Система оказалась очень красивой -- крохотная капелька воды на вибрирующей мыльной пленке.
Профессор из лаборатории прикладной математики Массачусетского технологического института (MIT, Massachusetts Institute of Technology) Джон Буш (John Bush) и студент Тристан Джилет (Tristan Gilet), приехавший к нему на стажировку из Бельгии, показали, что траектория капли воды, подпрыгивающей на мыльной пленке, которую они называют «жидкий трамплин», очень точно описывается всего одним простым математическим уравнением. Своими результатами ученые поделились с корреспондентами Infox.ru.
Характер «подпрыгивания» капли зависит от амплитуды вибрации пленки. Когда амплитуда мала, капля подскакивает с частотой, которую «навязывает» ей пленка. Однако при постепенном увеличении амплитуды колебания мыльного «батута» период подпрыгивания капли сначала в определенный момент удваивается, а затем учетверяется. Авторы показали, что одно простое дифференциальное уравнение второго порядка хорошо описывает как этот каскад удвоений периода, так и траекторию движения капли.
Хаос в MIT
Их исследование основывалось на работах Эдварда Лоренца (Edward Lorenz), метеоролога из MIT. В 1963 году он предложил одну из самых известных математических моделей хаотических систем -- описал конвекцию в атмосфере и создал приближения очень сложных уравнений, описывающих это явление гораздо более простыми уравнениями с тремя неизвестными, названными уравнениями Лоренца.
Популярный термин «эффект бабочки», кстати, также ввел Лоренц. Численно решая свои уравнения на компьютере, он обнаружил, что решения колеблются нерегулярным, почти случайным образом. А малейшее изменение начальных условий – значений вводимых переменных – может привести к тому, что новое решение окажется совершенно не похожим на исходное. На лекциях, рассказывая о своей работе, он описывал это так: бабочка, взмахивающая крыльями в Айове, может вызвать лавину эффектов, которые могут достичь высшей точки в дождливый сезон в Индонезии. Наверняка в примере Лоренца содержится намек и на известный рассказ 1952 года «И грянул гром» американского фантаста Рэя Брэдбери. В этом произведении, путешествуя во времени, американец раздавил бабочку в далеком прошлом, изменив тем самым политическую систему США в настоящем.
Хаос в лаборатории
Перед учеными давно стоял вопрос, каковы минимальные составляющие хаоса. То есть какова простейшая физическая система, демонстрирующая хаотическое поведение, которое можно описать уравнениями теории хаоса.
В 1970-х математики из MIT Лоу Ховард (Low Howard) и Виллем Мэлкас (Willem Malkus) создали первый хаотический механический осциллятор в той же самой лаборатории прикладной математики, где сейчас работают Буш и Джилет. Система оказалась довольно причудливой. На наклонное колесо закреплялись несколько бумажных стаканчиков со специальной перфорацией. Когда вода наливалась в эту «мельницу» сверху, колесо начинало вращаться и наклоняться по непредсказуемой, хаотичной траектории. Однако это движение очень точно описывалось уравнениями Лоренца.
Позднее с помощью теории хаоса были описаны и многие другие сравнительно простые механические системы: подпрыгивающий резиновый мячик, капающий кран. А еще так называемый двойной маятник -- когда к грузу маятника свободно крепится еще один маятник. Поведения такой системы описываются очень причудливой и на первый взгляд совершенно нелогичной траекторией.
Однако система, созданная Бушем и Джилетом, не только самая простая в экспериментальном исполнении -- она еще и описывается самым простым способом. Ученые считают, что их работа очень важная веха для математиков вообще и Массачусетского института в частности. «Мы вернули хаос к его жидкостно-механическим корням в MIT», -- говорит профессор Буш.
«Нам кажется, что это очень элегантный пример простейшего хаотического осциллятора. И мы надеемся, что однажды сможем найти его описание в учебниках по теории хаоса, -- сказал Джон Буш корреспондентам Infox.ru – И Тристан, и я очень увлечены исследованием этого класса проблем. Тристан сейчас изучает другой интересный вариант жидкостного механического хаотического осциллятора. А вместе мы рассматриваем возможность применения математического аппарата теории хаоса в биологии. Например, возможно вскоре у нас получится описать с его помощью полет летучей рыбы».
О результатах работы сообщается в пресс-релизе на сайте MIT. Там же сообщается, что вскоре работа будет опубликована в журнале Physical Review Letters.
